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Se remémorer les formules d’addition en trigonométrie à l’aide du produit scalaire, ne prend que quelques secondes…

Démonstration :

 

Soit \( \overrightarrow{u} (\cos a ; \sin a) \)

et \( \overrightarrow{v} (\cos b ; \sin b) \)

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  • Par définition \( \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}= x_{\overrightarrow{u}}\times x_{\overrightarrow{v}} +y_{\overrightarrow{u}}\times y_{\overrightarrow{v}} \)

Ainsi : \( \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}= \mathbf{\cos a \cos b + \sin a \sin b}\)

Nous avons également :  \( \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}= ||\overrightarrow{u}|| \times ||\overrightarrow{v}|| \times \cos(\overrightarrow{u};\overrightarrow{v})\) \( \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=1 \times 1\times \cos (a-b) = \mathbf{\cos (a-b)}\)

On obtiens donc :

\(\mathbf{\cos (a-b)=\cos a \cos b + \sin a \sin b}\)

  • \(\cos (a+b)=\cos (a-(-b)) \)en utilisant la formule précédente on  obtient :

\(\cos (a+b)=\cos a \cos (-b) + \sin a \sin (-b)\) or \( \cos (-b) = \cos b\) et \( \sin (-b) = – \sin b\)

On obtient donc : 

\(\mathbf{\cos (a+b)=\cos a \cos b – \sin a \sin b}\)

  • \(\sin (a-b)=\cos (\frac{\pi}{2} -(a-b)) = \cos ((\frac{\pi}{2} -a)+b) =\cos (\frac{\pi}{2} – a) \cos b – \sin (\frac{\pi}{2} – a) \sin b\)

Or \(\cos ((\frac{\pi}{2} -a) = \sin a\)  et \(\sin (\frac{\pi}{2} – a) = \cos a\) d’où :

\(\mathbf{\sin (a-b)=\sin a \cos b – \sin b \cos a}\)

  • \(\sin (a+b)=\sin (a-(-b)) \)    en utilisant la formule précédente on  obtient :

\(\sin (a+b)=\sin a \cos (-b) – \sin(- b) \cos a\) or \( \cos (-b) = \cos b\) et \( \sin (-b)= – \sin b\)  On obtient donc :

\(\mathbf{\sin (a+b)=\sin a \cos b + \sin b \cos a}\)

 

 

 

 

 

 

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