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Se remémorer les formules d’addition en trigonométrie à l’aide du produit scalaire, ne prend que quelques secondes…

Démonstration :

 

Soit 

 \overrightarrow{u} (\cos a ; \sin a)
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et 

 \overrightarrow{v} (\cos b ; \sin b)
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  • Google+
  • Par définition
     \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}= x_{\overrightarrow{u}}\times x_{\overrightarrow{v}} +y_{\overrightarrow{u}}\times y_{\overrightarrow{v}}
    • facebook
    • Twitter
    • Google+

Ainsi :

 \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}= \mathbf{\cos a \cos b + \sin a \sin b}
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  • Twitter
  • Google+

Nous avons également :  

 \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}= ||\overrightarrow{u}|| \times ||\overrightarrow{v}|| \times \cos(\overrightarrow{u};\overrightarrow{v})
  • facebook
  • Twitter
  • Google+
 \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=1 \times 1\times \cos (a-b) = \mathbf{\cos (a-b)}
  • facebook
  • Twitter
  • Google+

On obtiens donc :

\mathbf{\cos (a-b)=\cos a \cos b + \sin a \sin b}
  • facebook
  • Twitter
  • Google+

  • \cos (a+b)=\cos (a-(-b))
    • facebook
    • Twitter
    • Google+
    en utilisant la formule précédente on  obtient :

\cos (a+b)=\cos a \cos (-b) + \sin a \sin (-b)
  • facebook
  • Twitter
  • Google+
or 
 \cos (-b) = \cos b
  • facebook
  • Twitter
  • Google+
  • facebook
  • Twitter
  • Google+
et 
 \sin (-b) = - \sin b
  • facebook
  • Twitter
  • Google+

On obtient donc : 

\mathbf{\cos (a+b)=\cos a \cos b - \sin a \sin b}
  • facebook
  • Twitter
  • Google+

  • \sin (a-b)=\cos (\frac{\pi}{2} -(a-b)) = \cos ((\frac{\pi}{2} -a)+b) =\cos (\frac{\pi}{2} - a) \cos b - \sin (\frac{\pi}{2} - a) \sin b
    • facebook
    • Twitter
    • Google+

Or 

\cos ((\frac{\pi}{2} -a) = \sin a
  • facebook
  • Twitter
  • Google+
  et 
\sin (\frac{\pi}{2} - a) = \cos a
  • facebook
  • Twitter
  • Google+
d’où :

\mathbf{\sin (a-b)=\sin a \cos b - \sin b \cos a}
  • facebook
  • Twitter
  • Google+

  • \sin (a+b)=\sin (a-(-b))
    • facebook
    • Twitter
    • Google+
        en utilisant la formule précédente on  obtient :

\sin (a+b)=\sin a \cos (-b) - \sin(- b) \cos a
  • facebook
  • Twitter
  • Google+
or 
 \cos (-b) = \cos b
  • facebook
  • Twitter
  • Google+
  • facebook
  • Twitter
  • Google+
et 
 \sin (-b)= - \sin b
  • facebook
  • Twitter
  • Google+
  On obtient donc :

\mathbf{\sin (a+b)=\sin a \cos b + \sin b \cos a}
  • facebook
  • Twitter
  • Google+

 

 

 

 

 

 

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